2025-11-11
En este tipo de problemas intentamos estimar el resultado de una integral a través de varias fórmulas.
Se puede hacer mediante la fórmula de Simpson, la regla de los trapecios o el método de los coeficientes indeterminados.
La regla de los trapecios aproxima una integral de una función \(f(x)\) de esta manera:
\[ \int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{2}\left(f(a) + f(b)\right) \]
La fórmula de Simpson aproxima una integral de una función \(f(x)\) de esta manera:
\[ \int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{6} \left(f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right) \]
El método de los coeficientes indeterminados aproxima una integral de una función \(f(x)\) así:
\[ \int_a^b f(x) \approx \omega_0 f(k_1) + \omega_1 f(k_2) \]
Info
En el ejercicio nos tienen que dar los valores de \(k_1\) y \(k_2\) para usar este método.
Para encontrar los valores \(\omega_0\) y \(\omega_1\) (llamados pesos) para todos los polinomios de grado menor o igual que \(\lambda\), hay que seguir los siguientes pasos:
Vamos a ver el ejercicio 1 del Parcial 2 de enero de 2024:
Consideremos la siguiente fórmula de integración aproximada, donde \(\alpha\) es un valor real tal que \(0 < \alpha < 1\).
\[ \int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x \approx \omega_0 f(0) + \omega_1 f(\alpha) \]
a) Determina los valores de los pesos \(\omega_0\) y \(\omega_1\) para que la fórmula anterior sea exacta para todos los polinomios \(f(x)\) de grado menor o igual que 1. El resultado depende de \(\alpha\).
1. Encontrar una ecuación suponiendo que \(f(x)\equiv 1\). Cambiamos \(f(x)\) en la fórmula por 1, sustituyendo \(\approx\) por \(=\):
\[ \begin{gather} \int_0^1 1~\mathrm{d}x = \omega_0\cdot 1+\omega_1\cdot1\\\\ 1\cdot \big[x \big]_0^1 = \omega_0+\omega_1\\\\ 1=\omega_0+\omega_1\label{1}\tag{i} \end{gather} \]
2. Encontrar \(\lambda\) ecuaciones suponiendo que \(\small f(x)\equiv \{x^1,\dots,x^\lambda\}\). En nuestro caso, \(\lambda=1\), por lo tanto sustituimos \(f(x)\) por \(x\):
\[ \begin{gather}\small \int_0^1 x~\mathrm{d}x = \omega_0 \cdot 0 + \omega_1 \cdot\alpha\\\small \left[\tfrac{x^2}{2}\right]_0^1=\omega_1\cdot \alpha\\\small \tfrac{1}{2} = \omega_1\cdot\alpha\\\small \omega_1=\tfrac{1}{2\alpha} \end{gather} \]
3. A partir de las ecuaciones, conseguir los pesos \(\omega_0\) y \(\omega_1\):
Ahora que tenemos \(\omega_1\), podemos encontrar \(\omega_0\) con la ecuación \(\eqref{1}\):
\[ \begin{gather} 1=\omega_0+\omega_1\\ 1-\omega_1=\omega_0\\ 1-\tfrac{1}{2\alpha} = \omega_0 \label{2}\tag{ii} \end{gather} \]
Obteniendo así \(\small\omega_0 = 1 - \tfrac{1}{2\alpha}\) y \(\small\omega_1 = \tfrac{1}{2\alpha}\).
Determina el valor de \(\alpha\) para que la fórmula anterior también sea exacta para todos los polinomios \(f(x)\) de grado menor o igual a 2.
En este apartado, la \(\lambda\) (grado máximo) pasa a ser 2, por lo tanto también deberemos valorar el caso \(f(x)\equiv x^2\), sustituyendo \(\omega_1\) usando \(\eqref{1}\).
\[ \begin{gather} \int_0^1 x^2~\mathrm{d}x = \omega_0 \cdot 0^2 + \omega_1 \cdot\alpha^2\\ \left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\omega_1\cdot \alpha^2\\ \tfrac 1 3 = \tfrac{1}{2\alpha}\cdot\alpha^2\\ \tfrac 1 3 = \tfrac{\alpha}{2}\\ \tfrac 2 3 = \alpha \label{3}\tag{iii} \end{gather} \]
Por lo tanto, \(\alpha = \tfrac 2 3\).
Usa la regla anterior y la regla de Simpson para aproximar el valor de la integral:
\[ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~ \mathrm{d}x \]
¿Cuál da un error menor?
Ya que ahora tenemos el valor de \(\alpha\), vamos a sustituirlo en la fórmula usando \(\eqref{1}\), \(\eqref{2}\) y \(\eqref{3}\).
\[ \begin{gather} \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x \approx \omega_0 f(0) + \omega_1 f(\alpha)\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x \approx (1-\tfrac{1}{2\alpha})\ \sqrt[3]{8-2\cdot 0} + (\tfrac{1}{2\alpha}) \sqrt[3]{8-2\cdot \alpha}\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x \approx (1-\tfrac{1}{2\tfrac 2 3})\ \cdot 2 + (\tfrac{1}{2\tfrac 2 3}) \sqrt[3]{8-2\cdot \tfrac 2 3}\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x\approx \tfrac 1 4 \cdot 2 + \tfrac 3 4 \cdot \sqrt[3]{\tfrac{20}{3}}\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x\approx 1.91155\dots \end{gather} \]
Por lo tanto, usando la fórmula proporcionada, la integral da aproximadamente \(\small 1.91155\dots\)
Ahora calculemos usando la fórmula de Simpson.
\[ \begin{gather} \int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{6} \left(f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~ \mathrm{d}x\approx \frac{1-0}{6} \left(f(0)+4f\left(\frac{0+1}{2}\right)+f(1)\right)\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~ \mathrm{d}x\approx \tfrac 1 6 \left(\sqrt[3]{8-2\cdot 0}+4\sqrt[3]{8-2\tfrac 1 2}+\sqrt[3]{8-2\cdot 1}\right)\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~ \mathrm{d}x\approx \tfrac 1 6 \left(2+4\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{6}\right)\\ \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~ \mathrm{d}x\approx 1.91147\dots \end{gather} \]
¿Pero cuál tiene un error menor? Para eso hay que calcular el valor exacto de la integral.
Usaremos cambio de variable para resolver esta integral:
\[ \begin{gather} \int_0^1 \sqrt[3]{8-2x}~\mathrm{d}x\\\\ \small \boxed{u = 8-2x} \\ \small \mathrm{d}u = -2\cdot \mathrm{d}x \longrightarrow \boxed{\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{-2}}\\\\ \int_0^1 \sqrt[3]{u}~\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\\\ \end{gather} \]
Usaremos cambio de variable para resolver esta integral:
\[ \begin{gather} \int_0^1 \sqrt[3]{u}~\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\ \int_0^1 u^{\tfrac 1 3}~\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\ \left[\frac{u^{\tfrac 4 3}}{\tfrac 4 3}\cdot \frac{1}{-2}\right]_0^1\\ \left[\frac{{3\cdot(8-2x)}^{\tfrac 4 3}}{-8}\right]_0^1 =\left[\frac{3\cdot\sqrt[3]{{(8-2x)}^4}}{-8}\right]_0^1 \\ \end{gather} \]
Usaremos cambio de variable para resolver esta integral:
\[ \begin{gather} \left[\frac{3\cdot\sqrt[3]{{(8-2x)}^4}}{-8}\right]_0^1 = \frac{3\cdot(\sqrt[3]{(8-2\cdot 1)^4})}{-8} - \frac{3\cdot(\sqrt[3]{(8-2\cdot 0)^4})}{-8}\\ \frac{-3\cdot \sqrt[3]{6^4}}{-8}-\frac{-3\cdot \sqrt[3]{8^4}}{-8} = 1.91148\dots\\ \end{gather} \]
Así que tenemos \(\small 1.91155\dots\) (fórmula de los coeficientes indeterminados), \(\small 1.91147\dots\) (regla de Simpson) y el valor exacto es \(\small 1.91148\dots\). Calculamos el error de cada uno:
\(\text{error}_{\text{f. coef. ind.}} = |1.91148\dots - 1.91155\dots| \approx 0.00007\), \(\text{error}_{\text{f. Simpson}} = |1.91148\dots - 1.91147\dots| \approx 0.00001\)
Como el error es menor, podemos concluir que la mejor aproximación es la de la regla de Simpson.