2025-10-17
En un problema de optimización, solemos encontrar los siguientes elementos:
En los problemas de optimización, normalmente debemos dar como solución unos valores que cumplan ciertas condiciones. A estos valores los llamaremos variables, y serán aquellos que tenemos que encontrar. En problemas de optimización que tengan a ver con geometría, normalmente esos valores son las dimensiones.
Datos
Variables: \(x,y\)
Para poder resolver un problema de optimización con dos variables, será necesario tener algun tipo de información previa para poder relacionar una variable con la otra. Esta información previa normalmente vendrá en forma de ecuación.
Datos
Variables: \(x,y\)
Información previa: \(x=k\cdot y + k'\)
Para acabar, debemos tener una función o relación en el problema que hay que minimizar o maximizar. Esta vendrá en forma de una función que normalmente contiene las dos variables.
Datos
Variables: \(x,y\)
Información previa: \(x=k\cdot y + k'\)
Función: \(f(x,y)\)
Se puede resolver un problema de optimización siguiendo estos pasos:
Dadas las variables \(\large x\) y \(\large y\), debemos formar la función \(\large f(x,y)\) de la que se nos pide encontrar un máximo o mínimo, y que dependa de estas variables. Normalmente suele ser el área o el coste.
Debemos expresar \(\large x\) en función de \(\large y\), o por lo contrario, \(\large y\) en función de \(\large x\), usando la información previa. Suelen ser perímetros o volúmenes ya dados por el problema.
Ahora debemos sustituir la variable que hemos aislado en el paso anterior en la función, para que solo tengamos una variable. Por ejemplo, si hemos aislado \(\large x\), la sustituimos en la función de forma que \(\large f(x,y)\) pase a ser \(\large f(y)\).
Una vez que nuestra función solo tiene una variable, debemos encontrar para qué valor es máxima o mínima. Para eso, haremos la derivada de la función y la igualaremos a 0. Si nos dan más de dos valores, comprobad si son máximos o mínimos (haciendo la segunda derivada y sustituyendo los valores) y que concuerde con el enunciado.
Ahora que ya tenemos una de las dos variables, solo hace falta sustituirla en la ecuación que hemos obtenido para encontrar la equivalencia (ver aquí), y de esta forma ya obtendremos las dos dimensiones.
De todos los rectángulos de perímetro 20cm, ¿cuál es aquel que tiene la máxima área?
Obtenemos lo siguiente:
Encontramos la ecuación:
\[\begin{gathered} 2b + 2h=20\\ 2b = 20 -2h\\ b = \frac{20-2h}{2}\\ b = 10-h \end{gathered}\]
Y la sustituimos en la función:
\[\begin{gathered} A(b,h) = b\cdot h\\ A(h) = (10-h)\cdot h\\ A(h) = -h^2 + 10h \end{gathered}\]
Encontramos el mínimo
\[\begin{gathered} A(h) = -h^2 + 10h\\ A'(h) = -2h+10\\ A'(h) = 0\\ -2h+10 = 0\\ -2h = -10\\ h = \frac{-10}{-2}\\ h = 5 \end{gathered}\]
Y una vez tenemos \(\large h\), conseguimos \(\large b\):
\[\begin{gathered} b = 10 -h\\ b = 10 - 5\\ b = 5 \end{gathered}\]
Así conseguimos: \[\large h=5, b=5\] Es decir, el rectángulo de perímetro 20cm con mayor área es un cuadrado de 5x5cm.