Análisis de funciones

Author

Naïm Saadi

Published

2025-10-16

Pre: Funciones a trozos

Una función a trozos es una función que se define de forma diferente en diferentes intervalos. Una función a trozos \(f(x)\) puede ser representada de la siguiente manera:

\[ f(x)=\begin{cases} f_1(x)&\text{si } x<a_1\\\\ f_2(x) &\text{si } a_1 \leq x<a_2\\\\ f_3(x)&\text{si }a_2\leq x \end{cases} \]

No todas son así, pero más o menos tienen este aspecto.

Durante el resto del documento, se referirá a los valores \(a_1\) y \(a_2\), que indican los diferentes intervalos de una función a trozos como separadores.

1 Dominio

El dominio de una función es un intervalo que indica que valores puede tomar la \(x\). Dada una función \(f(x)\), podemos asumir que su dominio será siempre todos los reales. \[\large\text{Dom}(f(x))=\mathbb R\]

En cambio, si tienen alguno de los siguientes elementos, esto varía.

1.1 Función con variable en el denominador

Como no se puede dividir entre 0, debemos tener en cuenta que el denominador de nuestras funciones no puede ser igual a 0. \[\text{si } f(x)=\frac{a}{bx}\Longrightarrow \text{Dom}(f(x))=\mathbb{R}-\{x~~\text{tal que }bx=0\}\]

Entonces, simplemente hay que igualar el denominador de la función a 0, y los valores resultantes serán aquellos puntos que no están en el dominio.

1.1.1 Indeterminación

Es posible que en ese punto, si intentamos comprobar la continuidad, uno de los límites nos dé como resultado \(\large\frac 0 0\). Al tratarse esto de una indeterminación, no sabemos si la función es contínua o no. Para saberlo, podemos centrarnos en comprobar si la función es derivable en ese punto, ya que en caso de serlo, esto implicaría que es contínua. Una forma de hacer esto directamente con la fracción es aplicar l’Hôpital en la fracción y entonces hacer el límite.

1.2 Función que contiene una raíz

Como que no existen las raíces de números negativos, el valor de dentro de la raíz deberá ser mayor o igual a 0. Para eso, deberemos resolver una inecuación. \[\text{si } f(x)=\sqrt{ax}\Longrightarrow \text{Dom}(f(x))=(\text{interval tal que }ax \geq 0)\]

1.3 Función que contiene un logaritmo

Es el mismo caso que en [[#Función que contiene una raíz |la raíz]] , con la diferencia de que no existe el logaritmo de 0. Por lo tanto: \[\text{si } f(x)=\log{(ax)}\Longrightarrow \text{Dom}(f(x))=(\text{interval tal que }ax > 0)\]

Warning

Recordad que cada una de las funciones de las funciones a trozos está definida para un rango diferente indicado por los separadores. Si los valores “problemáticos” se encuentran fuera del rango, los ignoramos.

2 Recorrido

Si el dominio són aquellas \(x\) que acepta nuestra función, el recorrido son aquellas \(y\) que nos puede devolver. Excepto las siguientes funciones, el recorrido en general suele ser \(\mathbb R\).

2.1 Recorrido fijo

2.1.1 Función raíz

En las funciones de la forma \(\sqrt x\), el recorrido será \([0,+\infty)\).

2.1.2 Función logaritmo

En las funciones de la forma \(\log (x)\), el recorrido será \((0,+\infty)\).

2.1.3 Funciones trigonométricas

En las funciones de las formas \(\sin(x)\) o \(\cos(x)\), el recorrido será \([-1,+1]\).

2.2 Recorrido variable

2.2.1 Función cuadrática

En las funciones de la forma \(ax^2+bx+c\), el recorrido depende de cual sea el extremo relativo de esta función. Si \(a>0\), entonces el recorrido irá de \([y_{min},+\infty)\), por lo contrario, el recorrido irá de \((-\infty,y_{max}]\).

2.2.2 Funciones racionales

En las funciones de la forma \(\large \frac{1}{x}\), tenemos que aislar el valor \(x\) de la función. Por ejemplo: \[\begin{gathered} y=\frac{2x}{9x-2}\\\\ y\cdot(9x-2)=2x\\\\ 9xy-2y=2x\\\\ 9xy-2x=2y\\\\ x\cdot(9y-2)=2y\\\\ x=\frac{2y}{9y-2} \end{gathered}\] Dado esto, ahora simplemente vemos cuáles \(y\) nunca podrían estar. Como que el denominador no puede dar 0, buscamos que \(y\) no pueden ser parte de la función. \[\begin{gathered} 9y-2=0\\\\ 9y=2\\\\ y=\frac 2 9 \end{gathered} \]

Por lo tanto, como no puede ser que \(y=\frac 2 9\), el recorrido será \(\mathbb{R} - \{\frac 2 9\}\).

3 Continuidad

En general, para saber si una función es contínua, deberíamos observar:

  • Los puntos que están fuera del dominio.
  • Los separadores. Una vez tengamos la lista de puntos, sabremos que:
Tip

Una función \(f(x)\) es continua en un punto \(a\) solo si: \[\large\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=f(a)\]

3.1 Tipos de saltos

Al hacer los límites laterales de una función \(f(x)\) en un punto \(a\), la función puede ser contínua o discontínua. Aquí se detallan los diferentes tipos de discontinuidades:

3.1.1 Función discontínua evitable

Una función es discontínua evitable si: \[\large\lim_{x\rightarrow a^-} =\lim_{x\rightarrow a^+}\neq f(a)\]

Esto puede pasar, por ejemplnumber-sections: true o, si uno de los separadores no está incluido en ningún intervalo.

3.1.2 Función discontínua no evitable

Si en una función\[\lim_{x\rightarrow a^-} \neq\lim_{x\rightarrow a^+}\]entonces tenemos una discontinuidad no evitable. Sea \(\alpha\) el resultado del límite por la izquierda y \(\beta\) el resultado del límite por la derecha, tenemos los siguientes tipos de saltos:

3.1.2.1 De salto finito

Se da si \(\large\alpha \in \mathbb R\) y \(\large\beta \in \mathbb R\)

3.1.2.2 De salto infinito

Se da si \(\large\begin{cases}\alpha = \pm \infty\\\beta\in \mathbb R\end{cases}\) o \(\large\begin{cases}\alpha \in\mathbb{R} \\\beta=\pm \infty\end{cases}\)

3.1.2.3 De salto asintótico

Se da si \(\large \alpha =\pm\infty\) y \(\large \beta = \pm \infty\)

3.1.2.4 De segunda especie

Esta se da en casos muy concretos, cuando uno de los límites no existe o está indefinido. Por ejemplo, como que la raíz cuadrada solo acepta valores más grandes o igual que 0, si hacemos \[\large \lim_{x\rightarrow 0^-}\sqrt x\] veremos que no existe. En este caso diríamos que es una discontinuidad inevitable de segunda especie.

4 Asíntotas

Debemos comprobar si una función tiene asíntotas verticales u horizontales.

4.1 Asíntotas horizontales

Para comprobar si existen asíntotas horizontales, hay que hacer los límites de \(x\) a \(\infty\) y \(-\infty\). Si el resultado: - Es \(\infty\) o \(-\infty\), entonces no existe asíntota horizontal - Es un número \(n\), entonces existe una asíntota horizontal en \(y=n\).

4.2 Asíntotas verticales

Para comprobar si existen asíntotas verticales, hay que hacer los límites de \(x\) a los puntos fuera del dominio y a los separadores. Si el resultado de hacer los límites de \(x\) a un punto \(a\):

  • Es un número \(n\), entonces no existe asíntota vertical.
  • Es \(\infty\) o \(-\infty\), entonces existe una asíntota vertical en \(x=a\).
    • Por ambos lados (esta es la que se refiere por defecto).
    • La asíntota puede ser por la izquierda (si solo da \(\pm\infty\) en \(x\rightarrow a^-\))
    • La asíntota puede ser por la derecha (si solo da \(\pm\infty\) en \(x\rightarrow a^+\))

5 Recta tangente

Dada una función \(\large f(x)\) y un punto \(\large a\), podemos definir la recta tangente como aquella recta que corta con \(f(x)\) una única vez, en el punto \(x=a\). Podemos obtener la recta con la siguiente fórmula: \[\large y-f(a)=f'(a)\cdot(x-a)\] Donde \(a\) es el punto donde intersectan la función \(f(x)\) y la recta.

Es importante denotar que \(f'(a)\) es la pendiente de la recta.

6 Extremos relativos y estudio del crecimiento

6.1 Extremos relativos

Dada una función, los extremos relativos son los puntos en los que la \(y\) alcanza sus valores máximos o mínimos. Para encontrar en que \(x\) hay valores máximos o mínimos hay que ver los puntos en los que la pendiente es 0, es decir, cuando: \[\large f'(x)=0\] Para esto simplemente resolvemos la ecuación y obtendremos en qué \(x\) encontramos un extremo relativo. Si encontramos un extremo relativo en \(a\), podemos saber qué tipo de extremo relativo es:

  • Hay un mínimo en \(x=a\) si \(f''(a) > 0\).
  • Hay un máximo en \(x=a\) si \(f''(a)<0\). Si nos pidiera encontrar la coordenada donde está ese máximo, la \(x\) sería \(a\) y la \(y\) sería \(f(a)\).

6.2 Estudio del crecimiento

Para el estudio del crecimiento de una función, primero tendremos que haber encontrado sus extremos y haber analizado el dominio. Cuando los tengamos, tenemos que separar la recta numérica usando:

  • Los extremos relativos.
  • Los puntos que no están en el [[#Dominio|dominio]].
  • Los separadores

Digamos que tenemos los puntos \(a\), \(b\) y \(c\), siendo \(a<b<c\). Entonces, separamos la recta numérica en los intervalos \((-\infty,a),(a,b),(b,c),(c,+\infty)\). Una vez separada, elegiremos un número cualquiera de cada intervalo. Imaginemos que elegimos \(\alpha\in(-\infty,a)\), \(\beta\in (a,b)\), \(\gamma\in (b,c)\), \(\delta\in (c,+\infty)\). Para saber si la función crece o decrece en ese intervalo tenemos que tomar ese valor y sustituirlo en la derivada (\(f'(\alpha),f'(\beta),f'(\gamma),f'(\delta)\)), ya que así conseguiremos la pendiente (que es lo que nos indica si crece o decrece). Podemos decir que la función crece en un intervalo si la pendiente de un punto del intervalo es positiva. Si en cambio, es negativa, entonces decrece. Ejemplo: \[ \begin{gathered} \text{puntos separadores: }-2,4\\ \text{intervalos: }(-\infty,-2),(-2,4),(4,+\infty)\\ \text{puntos cualquiera de cada intervalo:}-5,0,10\\ \text{imaginemos que: }f'(-5)=3,f'(0)=-2,f'(10)=4\\ \text{entonces:} \end{gathered} \]

\((-\infty,-2)\) \((-2,4)\) \((4,+\infty)\)
signo \(f'(x)\) \(+\) \(-\) \(+\)
forma \(f(x)\) \(\nearrow\) \(\searrow\) \(\nearrow\)

Entonces podemos decir que \(f(x)\) es creciente en \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) y decreciente en \((-2,4)\).

7 Derivabilidad

Para que una función sea derivable, tiene que ser contínua. Es decir, una función derivable siempre será contínua pero una contínua no siempre será derivable.

Para comprobar que una función \(f(x)\) es derivable en un punto \(a\) debemos comprobar que la derivada a izquierda y derecha de \(a\) es la misma, es decir: \[f'_-(a)=f'_+(a)\]

Si son iguales, significa que \(f(a)\) es derivable en \(a\).

Ejemplo: \[ f(x)=\begin{cases} x^2&\text{si }x\leq1\\ 2x-1 &\text{si }1<x \end{cases}\\\\ \]

Es contínua, por lo tanto puede ser derivable. Estudiamos su derivabilidad en \(x=1\): \[\begin{gathered} f'_-(1)=(x^2)'=2x=2\cdot(1)=2\\\\ f'_+(1)=(2x-1)'=2 \end{gathered} \]

Por lo tanto, sí es derivable.

Extra 1: Resolver inecuaciones

El proceso de resolver inecuaciones es relativamente sencillo. Todo depende de qué tipo queramos resolver. Aquí se explicaran aquellas que os seran útiles.

Inecuaciones de primer grado

Son inecuaciones de la forma \(ax+b\geq 0\). Se resuelven de la misma manera que las ecuaciones de primer grado, con la excepción de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo, hay que girar el signo. Ejemplo: \[\begin{gathered}-3x+4\geq0 \\ -3x \geq-4 \\ x\textcolor{red}{\leq}\frac{-4}{-3} \\ x \leq \frac 4 3 \\\text{Respuesta: } (-\infty,\frac 4 3) \end{gathered} \]

Inecuaciones de segundo grado

Son inecuaciones de la forma \(ax^2 + bx +c \geq 0\). Primero calcularemos las raíces, es decir, lo resolveremos como si fuera una ecuación de segundo grado normal. Eso nos dará 2 respuestas \(x_1\) y \(x_2\). Para saber qué intervalo tomar, solo tenemos que mirar \(a\). Si \(a > 0\), entonces el resultado será positivo solo fuera del intervalo \([x_1,x_2]\), pero si \(a<0\), entonces el resultado solo será positivo dentro del intervalo \([x_1,x_2]\). En resumen, dada una \(f(x)\) que contiene una raíz por ejemplo: \[\begin{gather} \text{Dom}(f(x))= \begin{cases} (-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)&\text{si } a>0 \\ [x_1,x_2] & \text{si } a<0 \end{cases} \end{gather} \]

Extra 2: Límites

Para trabajar con límites, debemos tener en cuenta lo siguiente (no es algo exacto, ya que lo tomamos como referencia al trabajar con límites). Dados números \(n,m\in\mathbb{R}\):

  • \(\large\infty + n = \infty\)
  • \(\large \infty^n + \infty^m = \infty^{max(n,m)}\)
  • \(n < \log \infty < \sqrt \infty < \infty < \infty^n < n^{\infty}\)
  • \(\large\frac 1 \infty = 0\)
  • \(\large \frac 1 0 = \infty\)
  • En fracciones con infinitos: \[\frac{n\cdot \infty_1}{m\cdot\infty_2}=\begin{cases} \infty & \text{si }\infty_1>\infty_2\\ 0&\text{si }\infty_2>\infty_1\\ \frac n m & \text{si }\infty_1 = \infty_2 \end{cases} \]

Extra 3: L’Hôpital

Si al hacer un límite nos surge la indeterminación \(\large\frac 0 0\), podemos aplicar la regla de l’Hôpital. Para aplicarla, hay que hacer la derivada del numerador y el denominador por separado: \[\large \lim_{x\rightarrow a}\frac{f}{g}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'}{g'}\]

Ejemplo: \[ \begin{gathered}\large \lim_{x\rightarrow-2}\frac{x+2}{x^2+3x+2}=\frac{-2+2}{(-2)^2+3\cdot(-2)+2}=\frac 0 0\\\\\large \frac{x+2}{x^2+3x+2}\overset{\text{l'Hôpital}}{\Longrightarrow}\frac{1}{2x+3}\\\\ \lim_{x\rightarrow-2}\frac{1}{2x+3}=\frac{1}{2\cdot(-2)+3}=\frac{1}{-4+3}=\frac{1}{-1}=-1 \end{gathered} \]