Puntos críticos

Aquí se detallará como encontrar y analizar los puntos críticos de una función.

Se usará como ejemplo la función \(\large f(x,y)=2x^3+2x^2y+xy^2-3x\)

1 Derivadas parciales

El primer paso es hacer las derivadas parciales de la función \(\large f(x,y)\).

La derivada parcial sobre \(\large x\) de una función \(\large f(x,y)\) es la función derivada sobre la variable \(\large x\) manteniendo la variable \(\large y\) como constante.

Ejemplo: \[ \begin{gathered} \large \frac{\partial f}{\partial x}=D_x=6x^2+4xy+y^2-3\\\\ \large \frac{\partial f}{\partial y}=D_y=2x^2+2xy \end{gathered} \]

2 Encontrar puntos críticos

Un punto será crítico cuando las derivadas parciales en ese punto sean igual a 0. Veamos el ejemplo:

\[ \begin{cases} 6x^2+4xy+y^2-3 = 0\\ 2x^2+2xy=0\\ \end{cases} \]

Si ahora tomamos la segunda ecuación:

\[ \begin{gathered} 2x^2+2xy=0\\ 2x\cdot(x+y)=0 \begin{cases} 2x=0\longrightarrow x=0\\ x+y=0\longrightarrow x=-y \end{cases} \end{gathered} \]

Vemos que hay puntos críticos cuando \(x=0\) o \(x=-y\). Vamos a ver que valores toma \(y\) en estos puntos sustituyendo en las derivadas parciales.

\[ \begin{gathered} \boxed{x=0}\\ 6x^2+4xy+y^2-3 = 0\\ 6\cdot 0^2+4\cdot 0\cdot y+y^2-3 = 0\\ y^2-3 = 0\\ y=\pm\sqrt{3} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \boxed{x=-y}\\ 6\cdot (-y)^2+4\cdot (-y)\cdot y+y^2-3 = 0\\ 6y^2 - 4y^2 + y^2 -3 = 0\\ 3y^2-3=0\\ y^2=\frac{3}{3}\\ y=\pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{gathered} \]

Obtenemos en esta última que \(y=\pm 1\), entonces como que \(x=-y\) entonces \(x=\mp 1\).

Por lo tanto, obtenemos que existen puntos críticos en:

• \(\large (0,\sqrt 3)\)
• \(\large (0,-\sqrt 3)\)
• \(\large (1,-1)\)
• \(\large (-1,1)\)

3 Definir los puntos críticos

Para definir de qué tipo es un punto crítico, deberemos construir la matriz Hessiana. Para eso necesitaremos las segundas derivadas parciales.

3.1 Segundas derivadas parciales

Dadas las derivadas parciales \(D_x\) y \(D_y\), las segundas derivadas parciales se obtienen volviendo a derivar parcialmente cada una sobre ambas variables. Conseguiremos:

• \(D_{xx}\), resultado de derivar \(D_x\) sobre \(x\)
• \(D_{xy}\), resultado de derivar \(D_x\) sobre \(y\)
• \(D_{yx}\), resultado de derivar \(D_y\) sobre \(x\) (da el mismo resultado que la anterior)
• \(D_{yy}\), resultado de derivar \(D_y\) sobre \(y\)

Ahora montamos la matriz Hessiana (\(H\)) de esta forma:

\[ \large \begin{pmatrix} D_{xx} & D_{xy} \\ D_{yx} & D_{yy} \end{pmatrix} \]

3.2 Definiciones a partir de la matriz Hessiana

Para observar un punto \((x,y)\) hay que sustituir los valores en las derivadas parciales. Para definir qué tipo de punto crítico es, hay que observar dos valores: el determinante de la matriz Hessiana \(|H|\) y el elemento \(\large D_{xx}\).

El determinante se consigue con la operación \(|H| = D_{xx}\cdot D_{yy} - D_{xy}\cdot D{yx}\).

Dados estos valores, podemos observar la siguiente tabla:

\(\large|H|\)	\(D_{xx}\)	Tipo de punto
\(0\)		Inconcluso
\(-\)		Punto de silla
\(+\)	\(+\)	Mínimo relativo
\(+\)	\(-\)	Máximo relativo
\(+\)	\(0\)	Punto de silla

Y observando los signos podremos saber qué tipo de punto crítico es.